積體電路應用｜OP Amp 練習完整詳解

照片 1｜用比較器做邏輯閘

來源：照片 1.jpeg｜圖 1-23

第1題請用 OP Amp 的比較特性，設計一個有三輸入的 NOR 閘

先用白話懂題意： NOR 的意思是「三個輸入全部是 0，輸出才是 1；只要有任何一個是 1，輸出就是 0」。比較器就像裁判：正端電壓比較高 → 輸出高電位；負端比較高 → 輸出低電位。我們只要讓「輸入全 0」時正端贏，「有人是 1」時負端贏，就能做出 NOR。

解題思路：

把 A、B、C 經過等值電阻加總後接到比較器的反相端（−）。
在同相端（+）放一個很小的正參考電壓 $V_{ref}$。
全 0 時加總電壓 ≈ 0 < $V_{ref}$ → 輸出高（邏輯 1）。
任一輸入為高時，加總電壓 > $V_{ref}$ → 輸出低（邏輯 0）。
若用 LM339 這類開集極輸出，記得加 pull-up 電阻。

真值表目標：$Y=\overline{A+B+C}$

答案：把 A、B、C 加總送到比較器反相端，同相端接微小正參考電壓；輸出即為三輸入 NOR。可用等值輸入電阻（如 100k）與微小分壓 $V_{ref}$ 實現。

第2題分析圖 1-23，$Y=?$

先用白話懂題意： 圖 1-23 把 A、B、C 加總後送到比較器同相端（和上一題 NOR 設計剛好相反）。參考電壓很小。只要任一輸入為 1，同相端就會高過參考電壓，輸出被拉成 1。

完整算式：

參考電壓（接到 − 端）：

$$V_{ref}=V_{CC}\cdot\frac{1}{200+1}=\frac{V_{CC}}{201}\approx0.005\,V_{CC}$$

同相端加總電壓（A、B、C 經 100k，再對地 1k）：

$$V_+=\frac{V_A+V_B+V_C}{103}$$

假設邏輯 1 $=V_{CC}$，邏輯 0 $=0$：

全 0：$V_+=0 < V_{ref}$ → LM339 輸出電晶體導通 → $Y=0$
任一為 1：$V_+=V_{CC}/103\approx0.0097V_{CC} > V_{ref}$ → 輸出開路，被 3k 上拉 → $Y=1$

所以只要有一個輸入是 1，輸出就是 1：這是 OR 閘。

A	B	C	Y
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	1	1
1	1	1	1

答案：$Y=A+B+C$（三輸入 OR 閘）

照片 2｜OP Amp 驅動電晶體開關

來源：照片 2.jpeg｜圖 1-25

第1題$R_{L(min)}$、$I_{B(min)}$、$R_{B(max)}$？

先用白話懂題意： OP 輸出高電位時，要讓電晶體「飽和導通」去拉負載。 $R_L$ 太小會讓集極電流太大燒壞電晶體，所以有最小值；要飽和就需要夠大的基極電流，對應的 $R_B$ 就不能太大。

完整算式：

1）負載最小電阻（受 $I_{C(max)}$ 限制）：

$$R_{L(min)}=\frac{V_{DD}}{I_{C(max)}}=\frac{30}{0.5}=60\,\Omega$$

（同時 $V_{CEO}=45V>30V$，耐壓 OK）

2）此時集極電流取最大：$I_C=500\,\mathrm{mA}$

$$I_{B(min)}=\frac{I_C}{\beta}=\frac{500\,\mathrm{mA}}{100}=5\,\mathrm{mA}$$

3）OP 高電位近似 $V_O\approx +V_{CC}=15V$，取 $V_{BE}=0.7V$：

$$R_{B(max)}=\frac{V_O-V_{BE}}{I_{B(min)}}=\frac{15-0.7}{0.005}=2860\,\Omega$$

答案：$R_{L(min)}=60\Omega$，$I_{B(min)}=5\,\mathrm{mA}$，$R_{B(max)}=2.86\,\mathrm{k}\Omega$

第2題$R_L=300\Omega$ 時，$I_{B(min)}$、$R_{B(max)}$？$R_B$ 怎麼選？

$$I_C\approx\frac{V_{DD}}{R_L}=\frac{30}{300}=100\,\mathrm{mA}$$ $$I_{B(min)}=\frac{I_C}{\beta}=\frac{100\,\mathrm{mA}}{100}=1\,\mathrm{mA}$$ $$R_{B(max)}=\frac{15-0.7}{0.001}=14300\,\Omega=14.3\,\mathrm{k}\Omega$$

實務上為了保證飽和，常把基極電流加大（例如用強迫 $\beta\approx10$），因此 $R_B$ 選比 $R_{B(max)}$ 小：

$$I_{B(forced)}\approx\frac{I_C}{10}=10\,\mathrm{mA},\quad R_B\approx\frac{14.3}{10}=1.43\,\mathrm{k}\Omega$$

可選標準值約 $1.5\,\mathrm{k}\Omega$（或至少選 $\le 10\,\mathrm{k}\Omega$，確保小於 $14.3\,\mathrm{k}\Omega$）。

答案：$I_{B(min)}=1\,\mathrm{mA}$，$R_{B(max)}=14.3\,\mathrm{k}\Omega$；建議選約 $1.5\,\mathrm{k}\Omega$（保證飽和）。

照片 3｜放大器還是比較器？

來源：照片 3.jpeg｜圖 2-2

第1題下列各圖何者為放大器，何者為比較器？

判斷口訣： 有負回授（輸出繞回 − 端）→ 通常是放大器； 開迴路或正回授（輸出繞回 + 端）→ 通常是比較器 / 史密特觸發。

(a) 有負回授 → 差動／減法放大器 → 放大器
(b) 正回授到 + 端 → 史密特觸發器 → 比較器
(c) 開迴路，和 2V 比大小 → 比較器
(d) 反相端加總 + 負回授 → 加總放大器 → 放大器

答案：放大器 = (a)(d)；比較器 = (b)(c)

照片 4｜三級 OP 串接

來源：照片 4.jpeg｜圖 2-10

第1題若 $v_i=0.1\sin\omega t$，求 $v_{o1},v_{o2},v_{o3}$

先用白話懂題意： 三段電路串起來：第 1 段「原樣跟著走」、第 2 段「反相放大 5 倍」、第 3 段「同相放大 10 倍」。一路乘過去即可。

OP1 電壓隨耦：

$$v_{o1}=v_i=0.1\sin\omega t$$

OP2 反相放大器：

$$v_{o2}=-\frac{50\mathrm{k}}{10\mathrm{k}}v_{o1}=-5\times0.1\sin\omega t=-0.5\sin\omega t$$

OP3 同相放大器：

$$v_{o3}=\left(1+\frac{90\mathrm{k}}{10\mathrm{k}}\right)v_{o2}=10\times(-0.5\sin\omega t)=-5\sin\omega t$$

答案：$v_{o1}=0.1\sin\omega t$，$v_{o2}=-0.5\sin\omega t$，$v_{o3}=-5\sin\omega t$（單位：V）

照片 5｜加總放大器：設計與分析

來源：照片 5.jpeg｜圖 2-27

第1題怎樣設計使 $v_o=v_a+v_b+v_c$？

反相加總會多一個負號，所以「先反相加總，再反相一次」就能變成正的相加。

答案：第一級反相加總（$R_f=R_a=R_b=R_c$）得 $-(v_a+v_b+v_c)$；第二級反相增益 $-1$，得到 $v_o=v_a+v_b+v_c$。

第2題想得到 $v_o=\frac13(v_a+v_b+v_c)$ 怎麼安排？

方法 A（同相平均）：三個等值電阻接到 + 端平均，輸出用電壓隨耦：

$$v_o=\frac{v_a+v_b+v_c}{3}$$

方法 B（反相加總再反相）：第一級取 $R_f=R/3$，得 $-\frac13(v_a+v_b+v_c)$，再加一級增益 $-1$。

答案：最簡單是三等電阻接到同相端做平均，再接電壓隨耦，直接得到 $\frac13(v_a+v_b+v_c)$。

第3題$v_o=-(v_a+2v_b+3v_c)$ 的電路？

用單級反相加總：$v_o=-R_f\left(\frac{v_a}{R_a}+\frac{v_b}{R_b}+\frac{v_c}{R_c}\right)$。要係數 1、2、3，可取 $R_f=30\mathrm{k}$，則 $$R_a=\frac{R_f}{1}=30\mathrm{k},\quad R_b=\frac{R_f}{2}=15\mathrm{k},\quad R_c=\frac{R_f}{3}=10\mathrm{k}$$ （任何等比例也可以，例如 $R_f=6\mathrm{k}, R_a=6\mathrm{k}, R_b=3\mathrm{k}, R_c=2\mathrm{k}$）

答案：單級反相加總，$R_f:R_a:R_b:R_c=3:3:1.5:1$（例如 30k / 30k / 15k / 10k）。

第4題求圖 2-27 的 $v_{o1},v_{o2},v_{o3}$

OP1（反相加總）：

$$v_{o1}=-\frac{60}{30}v_a-\frac{60}{10}v_b=-2v_a-6v_b$$

OP2（分壓 + 電壓隨耦）：兩顆 47k 對分

$$v_{o2}=\frac12 v_{o1}=-v_a-3v_b$$

OP3（反相加總 $v_{o2}$ 與 $v_c$）：

$$v_{o3}=-\frac{10}{10}v_{o2}-\frac{10}{10}v_c=-v_{o2}-v_c=v_a+3v_b-v_c$$

答案：$v_{o1}=-2v_a-6v_b$，$v_{o2}=-v_a-3v_b$，$v_{o3}=v_a+3v_b-v_c$

照片 6｜疊加定理與差值電路設計

來源：照片 6.jpeg｜圖 2-31

第1題用疊加定理分析圖 2-31，求 $v_o$

疊加定理白話：一次只開一個電源，其他電壓源當短路（0V），把每次貢獻加起來。 OP 理想時還有「虛短路」：$V_+=V_-$。

1）先求同相端電壓（$v_c,v_d$ 等電阻）：

$$V_+=\frac{v_c+v_d}{2}$$

2）把 $V_+$ 當「抬高的虛地」，反相側等效：

$$R_a\parallel R_b=10\mathrm{k}\parallel10\mathrm{k}=5\mathrm{k}$$ $$v_o=- \frac{50}{10}v_a-\frac{50}{10}v_b+\left(1+\frac{50}{5}\right)V_+$$ $$v_o=-5v_a-5v_b+11\cdot\frac{v_c+v_d}{2}$$ $$v_o=-5v_a-5v_b+5.5(v_c+v_d)$$

也可用疊加：分別只留 $v_a$、$v_b$、$v_c$、$v_d$ 各算一次再相加，結果相同。

答案：$v_o=-5v_a-5v_b+5.5(v_c+v_d)$

第2題若要 $v_o=(v_c+v_d)-(v_a+v_b)$，五顆電阻怎麼排？

目標係數都是 $\pm1$。取五顆電阻全部相等（例如都是 $10\mathrm{k}$）： $$V_+=\frac{v_c+v_d}{2},\quad v_o=-(v_a+v_b)+2V_+=(v_c+v_d)-(v_a+v_b)$$ 接法：

$v_a\to R\to(-)$，$v_b\to R\to(-)$，回授 $R_f=R$
$v_c\to R\to(+)$，$v_d\to R\to(+)$

答案：五顆電阻同值即可；$v_a,v_b$ 進 − 端，$v_c,v_d$ 進 + 端，回授電阻與它們相同。

照片 7｜實例 3-2：反相史密特觸發（含 Vref）

來源：照片 7.jpeg｜圖 3-14

實例$\pm V_{CC}=\pm12V$，$\pm E_{sat}=\pm10V$，$R_1=10k$，$R_2=90k$，畫 $V_{ref}=\pm4V$ 轉移曲線

史密特觸發白話： 它不是「到某一個點就切換」，而是有高低兩個門檻（像有記憶的開關），可避免雜訊一直抖動。這題是反相型：輸入進 − 端；門檻由 + 端的 $V_{ref}$ 與回授一起決定。

通用式（$R_1=10k,R_2=90k$）： $$V_{TH}=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{ref}+\frac{R_1}{R_1+R_2}(+E_{sat})$$ $$V_{TL}=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{ref}+\frac{R_1}{R_1+R_2}(-E_{sat})$$

(1) $V_{ref}=+4V$

$$V_{TH}=0.9\times4+0.1\times10=3.6+1=4.6V$$ $$V_{TL}=0.9\times4+0.1\times(-10)=3.6-1=2.6V$$ $$\Delta H=4.6-2.6=2V,\quad V_{ct}=\frac{4.6+2.6}{2}=3.6V$$

(2) $V_{ref}=-4V$

$$V_{TH}=0.9\times(-4)+1=-3.6+1=-2.6V$$ $$V_{TL}=-3.6-1=-4.6V$$ $$\Delta H=2V,\quad V_{ct}=-3.6V$$

答案：(+4V) $V_{TH}=4.6V,V_{TL}=2.6V,\Delta H=2V,V_{ct}=3.6V$；(-4V) $V_{TH}=-2.6V,V_{TL}=-4.6V,\Delta H=2V,V_{ct}=-3.6V$

照片 8｜實例 3-3：同相型（含 Vref）門檻與波形

來源：照片 8.jpeg｜實例 3-3

實例$R_2=nR_1=9R_1$，求 $V_{ref}=\pm4V$ 的門檻與輸出波形概念

這題是同相型：輸入 $V_s$ 經 $R_1$ 進 + 端，輸出經 $R_2$ 正回授到 + 端，− 端接 $V_{ref}$。令 $n=R_2/R_1=9$，門檻為： $$V_{TH}=\frac{E_{sat}}{n}+\left(1+\frac1n\right)V_{ref},\quad V_{TL}=-\frac{E_{sat}}{n}+\left(1+\frac1n\right)V_{ref}$$

(1) $V_{ref}=+4V$

$$V_{TH}=\frac{10}{9}+\frac{10}{9}\times4=\frac{10+40}{9}=5.556\approx5.55V$$ $$V_{TL}=-\frac{10}{9}+\frac{40}{9}=3.333\approx3.33V$$ $$\Delta H=\frac{2}{9}\times10\approx2.22V,\quad V_{ct}=\frac{10}{9}\times4\approx4.44V$$

(2) $V_{ref}=-4V$

$$V_{TH}=\frac{10}{9}-\frac{40}{9}=-3.33V,\quad V_{TL}=-\frac{10}{9}-\frac{40}{9}=-5.55V$$ $$\Delta H\approx2.22V,\quad V_{ct}\approx-4.44V$$

同相型：三角波上升超過上門檻 → 輸出翻成 $+10V$；下降低於下門檻 → 輸出翻成 $-10V$。

答案：(+4V) 門檻約 5.55V / 3.33V；(-4V) 約 -3.33V / -5.55V；$\Delta H\approx2.22V$。輸入三角波時輸出為對應翻轉的方波。

照片 9｜圖 3-19 練習：可調 $\Delta H$ 與 $V_{ct}$

來源：照片 9.jpeg｜圖 3-19

第1題$V_{ref}=-4V$，求 $\Delta H$、$V_{ct}$，並畫轉移曲線

− 端接地（0V），切換當下 + 端也必須是 0V。把 $v_s$、$v_o$、$V_{ref}$ 三路電流加總為 0，就能解出門檻。

切換條件 $V_+=0$： $$\frac{v_s}{R_1}+\frac{v_o}{R_2}+\frac{V_{ref}}{R_3}=0$$ $$v_s=-v_o\frac{R_1}{R_2}-V_{ref}\frac{R_1}{R_3}=-0.5\,v_o-0.2\,V_{ref}$$ 同相型：輸出為 $-E_{sat}$ 時對應上門檻；輸出為 $+E_{sat}$ 時對應下門檻。 $$V_{TH}=-0.5(-10)-0.2(-4)=5+0.8=5.8V$$ $$V_{TL}=-0.5(10)-0.2(-4)=-5+0.8=-4.2V$$ $$\Delta H=V_{TH}-V_{TL}=10V$$ $$V_{ct}=\frac{V_{TH}+V_{TL}}{2}=0.8V$$

（也可記：$\Delta H=2\frac{R_1}{R_2}E_{sat}=10V$，$V_{ct}=-\frac{R_1}{R_3}V_{ref}=0.8V$）

答案：$\Delta H=10V$，$V_{ct}=0.8V$（$V_{TH}=5.8V$，$V_{TL}=-4.2V$）

第2題$V_{ref}=+4V$ 時的 $\Delta H$、$V_{ct}$ 與轉移曲線

$$V_{TH}=5-0.2(4)=4.2V$$ $$V_{TL}=-5-0.2(4)=-5.8V$$ $$\Delta H=10V,\quad V_{ct}=-0.8V$$

答案：$\Delta H=10V$，$V_{ct}=-0.8V$（$V_{TH}=4.2V$，$V_{TL}=-5.8V$）

第3題$v_s=6\sin\omega t$ 時，第1、2題的輸出波形

振幅 $6V$。

第1題門檻 5.8V / −4.2V：兩者都落在 $\pm6V$ 內 → 會反覆觸發，輸出在 $\pm10V$ 間切換（近似方波）。
第2題門檻 4.2V / −5.8V：同樣都落在 $\pm6V$ 內 → 也會觸發成方波。

同相型：過上門檻時輸出變 $+10V$，過下門檻時輸出變 $-10V$。

答案：兩種 $V_{ref}$ 下都會產生接近方波的輸出（在 $+10V$ 與 $-10V$ 間切換）。

第4題$v_s=0.5\sin\omega t$ 時的輸出波形

振幅只有 $0.5V$，遠小於所有門檻（約 $\pm4\sim\pm6V$），訊號永遠跨不過門檻。因此輸出不會翻轉，維持在上電後的狀態（可能一直是 $+10V$ 或一直是 $-10V$，取決於初始條件）。

答案：無法觸發，輸出維持定值（$+E_{sat}$ 或 $-E_{sat}$，由初始狀態決定）。

快速總表

照片	題目重點	最終答案（精簡）
1	NOR 設計 / 圖1-23	NOR：輸入加總進 − 端；圖1-23：$Y=A+B+C$（OR）
2	電晶體驅動	$R_{Lmin}=60\Omega$；$R_L=300\Omega$ 時 $I_{Bmin}=1mA$，$R_{Bmax}=14.3k$
3	放大器/比較器	放大器 (a)(d)；比較器 (b)(c)
4	三級放大	$0.1\sin\omega t$，$-0.5\sin\omega t$，$-5\sin\omega t$
5	加總設計+圖2-27	$v_{o3}=v_a+3v_b-v_c$
6	疊加/差值	$v_o=-5v_a-5v_b+5.5(v_c+v_d)$；等電阻得差值
7	反相史密特	+4V：4.6/2.6；−4V：−2.6/−4.6
8	同相門檻公式	+4V：5.55/3.33；−4V：−3.33/−5.55
9	圖3-19 練習	$\Delta H=10V$；$V_{ct}=\pm0.8V$；0.5V 輸入無法觸發

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