第三章　電路與磁路複習

Review of Basic Electrical and Magnetic Circuit Concepts

這一章是第 5 章的計算幾乎全部站在這裡。請把平均值、有效值、傅立葉、伏秒平衡練到會自己寫。磁路的最後一節要連到第 5 章的電源電感 $L_s$。

1. 平均值和有效值

同一個波形有兩個不同的「一個數字」。

此處預留圖圖/04_avg_rms.png

週期是 $T$ 時：

• 平均值 average：把一週期的面積除以週期。正負會相消。它代表直流成分。
• 有效值 rms：先平方、再平均、再開根號。平方之後沒有負的，所以它代表發熱能力。

電阻的功率一定用有效值：

用平均值代進去會算錯。這是第 5 章最常犯的錯。

例題 3-1　方脈衝，先練步驟

週期 $T = 4$ ms。前 1 ms 電壓是 20 V，剩下 3 ms 是 0。

平均值

有效值

若這個電壓接上 $R = 10\ \Omega$：

如果誤用平均值：$5^2 / 10 = 2.5$ W，少算了四倍。電流有效值是 $V_{rms}/R = 1$ A，電流平均值是 $0.5$ A。

例題 3-2　正弦波，第 5 章會直接拿去用

這是有效值 120 V 的市電形狀。完整的一個週期，正面積和負面積相消：

有效值就是題目給的 120 V，因為

現在只留下正半週，負半週改成 0。這就是第 5 章半波整流的輸出電壓。週期仍然是一整週 $2\pi$：

因為 $V_m = \sqrt{2}\,V_s$，

有效值要先平方。$\sin^2\theta$ 在 0 到 $\pi$ 的積分是 $\pi/2$，所以

記法：

• 半波整流的直流電壓是 $0.45 V_s$。
• 半波整流電壓的有效值是 $V_m/2$，不是 $0.45 V_s$。

全波整流每個半週都有拱起，週期縮成 $\pi$：

這就是板書上橋式整流的 $V_{do} = 0.9 V_s$。第 5 章會在電路裡再推一次。

2. 週期波的傅立葉　3-2-4-1

這一節對課本 3-2-4-1。那一頁的式子本身不長，難的是它把三件事擠在一起：波形怎麼拆、係數的積分為什麼長那樣、以及拆完的數字是峰值還是有效值。下面按使用順序寫。第 5 章方波電流的 $0.9 I_d$ 和 THD $48.4\%$，就是這一節算完的結果。

這一頁在做什麼

一個波形只要一週期一週期重複，就可以拆成兩種已經會算的東西：

• 一塊不隨時間變的直流。這塊就是第 1 節的平均值。
• 很多個正弦。頻率是原來的 1 倍、2 倍、3 倍……。1 倍叫 基頻，2 倍以上叫 諧波。

拆開之後，直流用平均值，每一個正弦用 $\sqrt{2}$ 換成有效值，總有效值再把這些有效值的平方加起來開根號。功率也一樣：不同頻率乘在一起，一週期的平均是 0，所以只有「和電壓同一頻率」的那一條電流會做功。

拆開之後長什麼樣子　(3-21)

課本把週期 $T$、角頻率 $\omega=2\pi/T$ 的波形寫成

三個符號各管一件事：

為什麼一次諧波要同時留 $\cos$ 和 $\sin$？因為諧波不一定在 $t=0$ 過零。一個移過相位的正弦，展開就是餘弦加正弦。$a_h$ 和 $b_h$ 一起記住「有多大」和「移了多少」。若你事先知道它是純正弦，其中一個係數自然算出來是 0，不必另外假設。

$h$ 只取 1、2、3……。$h=0$ 沒有放進這個求和，直流另外寫成 $F_0$。

係數怎麼算出來　(3-22)、(3-23)

先換變數。令 $\theta=\omega t$。一個週期在 $t$ 是 $0$ 到 $T$，在 $\theta$ 就是 $0$ 到 $2\pi$，而且 $d\theta=\omega\,dt$。下面的積分都對 $\theta$ 做。

要用到的事實只有一條：不同頻率的正弦、餘弦，乘起來再積滿一整週，面積是 0。 同一個頻率乘自己，面積不是 0。這叫正交。

以 $\sin h\theta$ 和 $\sin k\theta$ 為例。積化和差：

$h\neq k$ 時，右邊兩個餘弦在 $0$ 到 $2\pi$ 都跑完整數個週期，積分是 0。$h=k\neq 0$ 時，第一項變成 $\cos 0=1$，於是

$\cos h\theta\cos k\theta$ 同樣：$h=k\neq 0$ 時積分是 $\pi$，$h=k=0$ 時 $\cos 0=1$，積分是 $2\pi$。$\sin$ 乘 $\cos$，不論 $h$、$k$ 是多少，一週的積分都是 0。

所以要抓第 $h$ 次的 $a_h$，就把整條 (3-21) 乘上 $\cos(h\theta)$，再從 $0$ 積到 $2\pi$。其他項全部死掉，只剩

移項就得到課本的 (3-22)。$b_h$ 改乘 $\sin(h\theta)$，得到 (3-23)：

$h$ 從 0 開始只出現在 $a_h$。$b_0$ 沒有意義，因為 $\sin 0=0$。

兩件使用時容易錯的事：

• 括號裡是 $d(\omega t)$，也就是 $d\theta$，上下限是 $0$ 和 $2\pi$。若改成對 $t$ 積分、上下限 $0$ 到 $T$，前面的 $1/\pi$ 要改成 $2/T$。兩種寫法是同一個積分，不要混用係數和上下限。
• 波形在一段區間是 0，那一段就不用積。積分只寫「波形不為 0」的那段，係數 $1/\pi$ 仍然是對整個 $0$ 到 $2\pi$ 的，不要改成對那一段的長度。

為什麼平均值是 $a_0$ 的一半　(3-24)

這一點是這頁最容易看成矛盾的地方。(3-22) 允許 $h=0$，但代進去之後，$a_0$ 不是平均值。

$h=0$ 時 $\cos 0=1$，(3-22) 變成

平均值是同一塊面積除以 $2\pi$，不是除以 $\pi$：

兩個式子比一下，$a_0=2F_0$，所以

最後一個等號就是第 1 節的平均值。直流不必重新發明算法。

用一個常數檢查。$f=10$ 伏特，一直不變。

若把 $a_0$ 直接寫進 (3-21) 當直流，會得到 20 V，是真正平均值的兩倍。(3-21) 的常數項必須寫 $F_0$，也就是 $a_0/2$。

直流的有效值就是 $|F_0|$ 自己。它不要再除 $\sqrt{2}$。除 $\sqrt{2}$ 只用於後面那些正弦。

一對 $a_h$、$b_h$ 怎麼合成一個正弦　(3-25)、(3-26)、(3-27)

第 $h$ 次在 (3-21) 裡是兩條曲線。把它們合成一條，峰值和相位才看得到。

設 $R_h=\sqrt{a_h^2+b_h^2}$，並且

那麼

正好就是 (3-21) 裡的那一對。所以峰值是 $\sqrt{a_h^2+b_h^2}$，相位滿足

$\tan$ 只告訴你角度的正切，不告訴你在第幾象限。要連同 $a_h$、$b_h$ 的正負一起看：

$a_h=0$ 時 (3-27) 的分母是 0，不要硬除。那表示它和餘弦差 $90^\circ$，也就是一條正弦。方波就是這種。

正弦的有效值是峰值除以 $\sqrt{2}$。課本的 $F_h$ 已經是有效值，不是峰值：

相量寫法 (3-25) 只是把這個有效值和相位收成一個複數，$\mathbf{F}_h=F_h e^{j\phi_h}$。大小仍是 $F_h$，角度仍是 $\phi_h$。後面算電流的有效值時，用的是這個 $F_h$，不是 $\sqrt{a_h^2+b_h^2}$。

總有效值為什麼用平方相加　(3-28)

第 1 節的有效值是

把 (3-21) 代進去。$f^2$ 展開後有兩類項：每一項自己的平方，以及不同項相乘的交叉項。交叉項就是不同頻率的正弦餘弦相乘，上一節已經看過，積滿一週是 0。剩下的是

再開根號：

這裡的每一個 $F_h$ 都是 (3-26) 的有效值。直流用 $F_0$，不要寫成 $F_0/\sqrt{2}$。

這也說明第 1 節為什麼不能用平均值算發熱。平均值 $F_0$ 只是 (3-28) 根號裡的第一項。諧波的有效值平方之後仍要加進去。純交流的意思就是 $F_0=0$，根號裡只剩各次諧波。

對稱性：表 3-1 在幫你刪項

課本表 3-1 把「看圖就能先刪掉的係數」列出來。先刪再積分，計算會短很多。

偶對稱。 $f(-\theta)=f(\theta)$，圖形對縱軸左右相同。$\sin(h\theta)$ 是奇函數，偶函數乘奇函數再積一整週是 0，所以全部 $b_h=0$。只剩餘弦。積分只要算半週再乘 2：

奇對稱。 $f(-\theta)=-f(\theta)$，對原點對稱。全部 $a_h=0$，包含直流。只剩正弦：

半波對稱。 $f(\theta+\pi)=-f(\theta)$。把波形右移半週，再上下翻轉，和原來重合。把它代進 (3-21)：右移 $\pi$ 會讓第 $h$ 次乘上 $(-1)^h$。要和 $-f$ 處處相等，必須

而且 $h$ 為偶數時 $(-1)^h=1$，係數只能是自己的相反數，所以

偶次諧波和直流都不存在。奇次還在。第 5 章的方波電流 $\pm I_d$ 有這種對稱；全波整流電壓 $|v_s|$ 沒有，因為右移半週之後形狀不變，沒有變成負的。

又奇、又半波。 方波就是。$a_h$ 全是 0，偶次 $b_h$ 也是 0。四個四分之一週的貢獻相同，積分縮到 $0$ 到 $\pi/2$：

偶函數又帶半波對稱時，把 $\sin$ 換成 $\cos$、$b_h$ 換成 $a_h$，是同一條捷徑。

怎麼用：方波從頭算到 $0.9 I_d$

單相橋式、直流側電感很大時，交流電流在正半週是 $+I_d$，負半週是 $-I_d$。用上面的對稱直接判斷：

• 奇對稱，所有 $a_h=0$，$F_0=0$。
• 半波對稱，偶次 $b_h=0$。

只剩奇次的 $b_h$。用四分之一週的公式，$0$ 到 $\pi/2$ 這段 $f=I_d$：

$h$ 是奇數時 $\cos(h\pi/2)=0$，所以

代回 (3-21)，$a_h=0$：

這就是第 5 章直接寫出的那一條。基頻峰值是 $4I_d/\pi$。課本要的 $F_1$ 是有效值，用 (3-26)：

相位要分兩個角度。(3-27) 的 $\phi_1$ 是相對餘弦：$a_1=0$、$b_1>0$，所以 $\phi_1=-90^\circ$，波形寫出來就是 $\sin\omega t$。電源電壓也寫成 $\sin\omega t$，因此這條基頻電流和電壓同相。功因裡用的是後面這個角度，位移功因是 1，不是把 $-90^\circ$ 拿去代 $\cos\phi$。

總有效值可以用波形直接算，不必先加諧波。$(\pm I_d)^2=I_d^2$，一週的平均仍是 $I_d^2$，所以

(3-28) 必須給出同一個數。只加前三個奇次看它怎麼逼近。$0.900$、$0.900/3$、$0.900/5$：

還不到 $I_d$。後面的 $1/7$、$1/9$……繼續補，加完才回到 $I_d$。考試若已經能從波形直接看出 $I_s=I_d$，就用直接的算法；(3-28) 用來檢查，也用來算 THD：

代 $I_s=I_d$、$I_{s1}=0.9 I_d$，得到第 5 章的 $48.4\%$。

和功率的關係

電壓若是純正弦，頻率只有 $\omega$。電流拆成直流、基頻、各次諧波之後，$v\cdot i$ 一週的平均只留下「電壓的 $\omega$」乘「電流的 $\omega$」。其他頻率的乘積，正負面積抵消。

所以平均功率是

不是 $V_s I_s$。方波的基頻和正弦電壓同相，所以 $P=V_s I_{s1}=V_s(0.9 I_d)$。視在功率仍用總有效值，$S=V_s I_s=V_s I_d$，功因是 $P/S=0.9$。功因變小是因為 $I_s$ 比 $I_{s1}$ 大，不是因為電流落後電壓。

對著課本時怎麼讀

1. (3-21) 先看成「直流加很多個正弦」。先別管 $a_0$。
2. (3-24) 告訴你直流就是第 1 節的平均值，而且它等於 $a_0/2$。$a_0$ 用 (3-22) 在 $h=0$ 算出來時會是平均值的兩倍。
3. (3-22)、(3-23) 是在用正交把每一項單獨抓出來。積分變數是 $\omega t$。
4. 看過表 3-1 的對稱，能刪的係數先刪。
5. (3-26) 的 $F_h$ 是有效值：峰值 $\sqrt{a_h^2+b_h^2}$ 再除以 $\sqrt{2}$。
6. (3-27) 給相位。分母 $a_h=0$ 就改查它是不是純正弦。
7. (3-28) 把直流和各次有效值平方相加，再開根號。這就是整條波形的有效值。

3. 電感

電壓的面積決定電流改變多少。面積的單位是伏秒，所以叫 volt-second。

此處預留圖圖/05_voltsecond.png

週期穩態下，電流不能一個週期比一個週期更高，所以一個週期內

正面積等於負面積。板書第 5 章寫的「A 面積 = B 面積」就是這句。

電流連續時，電感兩端電壓可以跳變，電流不能跳變。開關突然打開，電流還是剛才那個值，接著才依照 $v_L$ 上升或下降。

例題 3-3　伏秒

$L = 2$ mH。電壓 +10 V 維持 $50\ \mu$s。

若一個週期是 $200\ \mu$s，前面 $50\ \mu$s 是 +10 V，穩態時剩下 $150\ \mu$s 的電壓平均必須把這 0.25 A 拉回來。設那段電壓是常數 $V_2$：

正面積 $10\times 50 = 500$，負面積 $3.33\times 150 = 500$。這就是面積相等。

4. 電容

和電感對偶：電流的面積（安秒，amp-second）決定電壓改變多少。週期穩態下，電容電流的平均值必須是 0，否則電壓會一直漂。

電壓連續，電流可以跳。

例題 3-4　安秒

$C = 100\ \mu$F，用 2 A 充電 1 ms。

若充電前是 5 V，充電後是 25 V。

5. 功率和功因（先學正弦的版本）

瞬時功率 $p = vi$。一個週期的平均才是真正做功的功率：

電壓、電流都是正弦，而且相位差是 $\varphi$ 時：

視在功率 apparent power：

功因 power factor：

這裡的 $\cos\varphi$ 也叫 displacement power factor，DPF，位移功因。

第 5 章的電流不是正弦，含有諧波。那時 $PF$ 不再等於 $\cos\varphi$。原因在第 2 節：不同頻率乘起來，一週的平均是 0，只有和電壓同頻率的那一部分電流會產生平均功率。

6. 磁路

鐵心讓磁通有一條低磁阻的路。口頭複習要留下的關係：

此處預留圖圖/16_magnetic.png

磁阻 reluctance（不要和電阻 $R$ 搞混，這裡寫成 $R_m$）：

磁動勢 MMF 是 $Ni$，單位安匝。它對磁通的角色，很像電壓對電流：

磁通密度 $B = \phi / A$。線圈的電感：

法拉第定律：

若磁通是正弦 $\phi = \phi_{max}\sin\omega t$，感應電壓的峰值是 $N\omega\phi_{max}$，有效值是

因為 $\omega = 2\pi f$，而 $2\pi/\sqrt{2} = 4.442$。

漏感就是第 5 章的 $L_s$

不是全部磁通都走在鐵心裡。漏出去的那一部分用一個小電感代表，叫 leakage inductance 漏感。

整流器接到交流電源時，變壓器和線路的漏感就出現在交流側，符號是 $L_s$。電流不能瞬間改變，所以二極體換相時要花一個角度 $u$。第 5 章最後一節就是在算這個角度，以及它讓直流電壓少掉多少。

例題 3-5　磁路數字

鐵心平均長度 $\ell = 0.2$ m，截面積 $A = 4\ \text{cm}^2 = 4\times 10^{-4}\ \text{m}^2$，$\mu_r = 1000$，匝數 $N = 100$，電流 1 A。

例題 3-6　4.44 公式

$f = 60$ Hz，$N = 200$，$\phi_{max} = 0.5$ mWb $= 5\times 10^{-4}$ Wb。

先算 $200\times 5\times 10^{-4} = 0.1$，再

這是這顆線圈感應電壓的有效值。

7. 這章要認得的英文

8. 口頭課結束時要能算的事

• 給一段波形，求出平均值和有效值，並且用有效值算功率。
• 半波是 $0.45 V_s$，全波是 $0.9 V_s$。兩個都是平均值。
• 說明 $F_0=a_0/2$：同一個積分，平均值除的是 $2\pi$，(3-22) 除的是 $\pi$。
• 方波 $\pm I_d$：$b_h=4I_d/(h\pi)$（$h$ 奇數），基頻有效值 $0.9 I_d$，總有效值仍是 $I_d$。
• 半波對稱的波形沒有直流，也沒有偶次諧波。
• 電感：電壓面積改變電流；穩態時正面積等於負面積。
• 電容：電流面積改變電壓。
• 正弦功因是 $\cos\varphi$。有諧波時這個句子不夠，第 5 章會補。
• 漏感 $L_s$ 讓交流側電流不能瞬間改變。