第五章習題

Problems for Chapter 5

題目依 Mohan 第二版 PDF 第 114–116 頁。這一頁做 5-1、5-2、5-3、5-4、5-7、5-8、5-10、5-11、5-14、5-21、5-23、5-26。角度代進指數或 $V_d(\omega t)$ 時用弳度。

有幾處和 作業/5.md 的原稿不同，這裡以 PDF 和代回電流式的結果為準。

• 5-3 的電壓第三項是 $\sqrt{2}V_1\sin(\omega_1 t)$。括號寫的是 $\omega_1$ 與 $\omega_3$ 不相等，沒有 $V_2$、$\omega_2$。
• 5-10 的直流電壓是 $V_d = 160$ V。
• 5-1 的峰值與熄滅角、5-2 和 5-11 的熄滅角，原稿代回去電流還不是 0。下面用同一條式子重新解。

習題 5-1

圖 5-3(a)，單相半波，串聯 $R$-$L$。$V_s = 120$ V，$f = 60$ Hz，$L = 10$ mH，$R = 5\ \Omega$。畫出穩態的 $v_s$ 與 $i$。

導通時

從 $\omega t = 0$ 電流為 0 開始，

$\theta$ 用弳度。電流再回到 0 的角度是熄滅角 $\beta$，一定大於 $180^\circ$。之後二極體截止，$i = 0$，直到下一週。

$\sin 37.02^\circ = 0.602$，所以暫態係數是 $27.10\times 0.602 = 16.32$ A。$R/\omega L = 1.326$。導通區間內

峰值發生在 $di/dt = 0$，也就是 $v_s = Ri$。解得

檢查：$v_s/R = 169.7\sin 124.4^\circ / 5 = 27.99$ A，和電流式一致。$180^\circ$ 時強制項是 $16.32$ A，暫態只剩 $16.32\,e^{-1.326\pi} = 0.25$ A，所以

$i(\beta) = 0$ 的根是

$215.4^\circ$ 代回去還有約 $0.88$ A，電流還沒結束。$217.2^\circ$ 之後到 $360^\circ$，$i = 0$。

電壓在 $180^\circ$ 已經變負，二極體仍導通，是因為電感要把先前存的伏秒吐完。正面積和負面積相等時，電流才回到 0。

此處預留圖圖/hw5_1.svg

答案。 $v_s = 169.7\sin(377t)$ V。$0\le\theta\le 217.2^\circ$ 時 $i(\theta) = 27.10\sin(\theta-37.02^\circ)+16.32 e^{-1.326\theta}$ A，其餘為 0。峰值 $27.99$ A 在 $124.4^\circ$，熄滅角 $217.2^\circ$。

習題 5-2

圖 5-4(a)，半波，串聯 $L = 10$ mH，負載裡有直流電壓 $V_d = 150$ V。$V_s = 120$ V，$60$ Hz。畫 $v_s$ 與 $i$。

$v_s$ 超過 $V_d$ 才開始導通。這題沒有串聯電阻，電流由電感積分得到：

$v_s$ 再掉回 $150$ V 時 $v_L = 0$，電流最大：

$\omega L = 3.770\ \Omega$，$\cos 62.11^\circ = 0.4677$，

$\theta$ 用弳度。代入 $\theta_2$：

$i(\theta_3) = 0$ 的根是 $\theta_3 = 146.5^\circ = 2.556$ rad（$6.78$ ms）。原稿的 $149.8^\circ$ 代進上面那條式子，電流是 $-0.93$ A，已經過了零點。

導通只有 $62.1^\circ$ 到 $146.5^\circ$。$146.5^\circ < 180^\circ$，負半週不會續流。

此處預留圖圖/hw5_2.svg

答案。 導通 $62.11^\circ\le\theta\le 146.5^\circ$，$i(\theta) = 64.19-45.02\cos\theta-39.79\,\theta$ A。峰值 $3.38$ A 在 $117.89^\circ$。

習題 5-3

負載電壓、電流為（$\omega_1$ 與 $\omega_3$ 不相等）

求平均功率 $P$、兩個有效值，以及功因。

不同頻率的乘積，平均是 0。同一頻率的 $\sin$ 和 $\cos$ 相乘，平均也是 0。會留下平均功率的只有直流、$\omega_1$ 的餘弦對餘弦、以及 $\omega_3$ 那一對。

$\sqrt{2}V_1\sin(\omega_1 t)$ 和電流的餘弦正交，不產生平均功率。它仍然佔有效值。$\cos$ 與 $\sin$ 各有有效值 $V_1$，合成是 $\sqrt{2V_1^2}$。

電壓裡多出來的正交項會把 $V_{\text{rms}}$ 抬高、把功因拉低，但平均功率不變。

習題 5-4

圖 5-6(b)，單相全橋，$L_s = 0$，直流側定電流 $I_d = 10$ A。求兩種 $v_s$ 送到負載的平均功率。

$L_s = 0$ 時 $v_d = |v_s|$，$P = V_d I_d$。

(a) $v_s$ 為 $120$ V、$60$ Hz 正弦。

(b) 圖 P5-4 的準方波：每半週前 $60^\circ$ 為 0，接著 $120^\circ$ 為 $\pm 200$ V。

$v_s = 0$ 的那 $60^\circ$，定電流不能斷，橋的上下臂同時導通，形成續流，$v_d = 0$，這段功率是 0。

習題 5-7

圖 5-20。交流側阻抗忽略，橋的輸出和很大的濾波電容之間串 $L_d$。電容夠大，$v_d$ 的漣波可忽略。求 $i_d$ 連續所需的最小 $L_d$，用 $V_s$、$\omega$、$I_d$ 表示。

連續時，電感前的電壓是全波整流，平均值

二次諧波近似

全波整流電壓的主導漣波是 $2\omega$：

感抗是 $2\omega L_d$，電流振幅

臨界連續是 $I_d = \hat{I}_{d2}$，

時域積分

$v_{oi} = V_d$ 的角度

臨界時 $i_d(\theta_1) = 0$，再對半週取平均，

二次諧波只留一項，所以比直接積分小。兩種都要會。負載越輕，$L_{d,\min}$ 越大；$I_d\to 0$ 時任何有限電感都會斷流。

習題 5-8

圖 5-14(a)，單相全橋，$V_s = 120$ V，$60$ Hz，$L_s = 1$ mH，$I_d = 10$ A。求重疊角 $u$、$V_d$、$P_d$，以及 $L_s$ 使 $V_d$ 下降的百分比。

換向時交流電流從 $-I_d$ 變到 $+I_d$，變化量是 $2I_d$。

也可以 $\dfrac{1-\cos u}{2} = 2.22\%$。這 $2.40$ V 不是電感發熱。換向時四顆二極體同時導通，$v_d$ 被鉗在 0，平均電壓下降，從電源取出的平均功率也下降。

習題 5-10

圖 5-16(a)，$L_s = 1$ mH，直流側定電壓 $V_d = 160$ V。$v_s$ 是圖 P5-4 的 $60$ Hz 準方波。畫 $i_s$ 與 $i_d$。提示兩者都不連續。

$v_s$ 與 $V_d$ 都是分段常數，電流是直線。

• $60^\circ$ 到 $180^\circ$：$v_s = 200$ V，$v_L = 200-160 = 40$ V，斜率 $40$ A/ms。這段長 $1/180$ s，

峰值在 $180^\circ$。

• $180^\circ$ 之後 $v_s = 0$，導通的那一對二極體還把電感接到 $V_d$，$v_L = -160$ V。伏秒平衡：

$210^\circ$ 到 $240^\circ$ 電流為 0。

負半週從 $240^\circ$ 的 $-200$ V 開始，形狀相同、符號相反。$360^\circ$ 達到 $-222.2$ A。下一週的 $0^\circ$ 到 $30^\circ$，$v_s = 0$，負電流以 $+160$ V 的電感電壓回到 0。所以穩態的一個週期裡，$0^\circ$ 到 $30^\circ$ 不是 0，那是上一顆負脈衝的尾巴；真正的零電流是 $30^\circ$ 到 $60^\circ$，以及 $210^\circ$ 到 $240^\circ$。

若把 $V_d$ 當成 $60$ V，正伏秒遠大於 $v_s = 0$ 那一段能吐掉的負伏秒，電流在下一顆 $\pm 200$ V 之前回不到 0，穩態不會是提示說的不連續。PDF 寫的是 $160$ V。

此處預留圖圖/hw5_10.svg

答案。 正脈衝 $60^\circ$ 起步，$180^\circ$ 達 $222.2$ A，$210^\circ$ 歸零。負脈衝在 $360^\circ$ 達 $-222.2$ A，下一週 $30^\circ$ 歸零。$i_d = |i_s|$。

習題 5-11

圖 5-16(a)，$V_s = 120$ V，$60$ Hz，$L_s = 1$ mH，$V_d = 150$ V。求圖 5-16(c) 的 $i_d$：$\theta_b$、$\theta_f$、$I_{d,\text{peak}}$，以及平均值 $I_d$。

和 5-2 同一組電壓，電感縮小成 $1/10$，而且是全橋，正負半週各一顆脈衝。

$\omega L_s = 0.377\ \Omega$。峰值是 5-2 的 10 倍：

電流式的括號和 5-2 相同，零點也相同：

$\theta_f < 180^\circ+\theta_b$，所以是不連續。負半週的脈衝在 $242.1^\circ$ 到 $326.5^\circ$，峰值在 $297.9^\circ$。

平均值對半週來算（下一半重複）：

$\theta_f-\theta_b = 1.472$ rad，$\sin\theta_f = 0.5524$。括號內合計 $10.55$，

此處預留圖圖/hw5_11.svg

答案。 $\theta_b = 62.11^\circ$，$\theta_f = 146.5^\circ$，峰值 $33.78$ A 在 $117.89^\circ$，$I_d = 8.91$ A。

習題 5-14

圖 5-6(b)，$L_s = 0$，$i_d = I_d$ 為常數。求交流電流的 THD、DPF、PF、波峰因數。

$i_s$ 是振幅 $\pm I_d$ 的方波，和 $v_s$ 同時過零。

基頻與電壓同相，$\text{DPF} = \cos\phi_1 = 1$。

DPF 是 1，只表示基頻沒有相位差。3、5、7… 次諧波仍讓 $I_s$ 比 $I_{s1}$ 大，功因落到 $0.900$。

習題 5-21

圖 5-28，三相四線，三個單相整流負載相同。已知 $I_n = \sqrt{3}\,I_{\text{line}}$。證明每個線對中性線電壓的半週裡，各相電流的導通角 $\theta_c < 60^\circ$。

三相平衡時 $I_a = I_b = I_c = I_{\text{line}}$。題目 $I_n^2 = 3I_{\text{line}}^2$，所以交叉項積分必須是 0。電流不同時為正或不同時為負時，乘積才恆為 0，也就是三相脈衝在時間上不重疊。

相電壓差 $120^\circ$。每相正、負半週各一顆脈衝，六顆脈衝的中心落在 $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 210^\circ, 270^\circ, 330^\circ$，相鄰間隔 $60^\circ$。半週 $180^\circ$ 裡有三顆，要完全不重疊，每一顆的寬度必須小於間隔：

這時中性線一週有 6 顆互不重疊的脈衝，相線只有 2 顆，有效值平方是相線的 3 倍，$I_n = \sqrt{3}\,I_{\text{line}}$。基頻在中性線上相消，三倍次同相相加，所以中性線會比相線粗。

習題 5-23

圖 5-31(a)，三相全橋，$L_s = 0$，$i_d = I_d$。求每一顆二極體電流的平均值和有效值對 $I_d$ 的比。

上臂三顆裡，相電壓最高的那一顆導通；下臂三顆裡，相電壓最低的那一顆導通。每一顆在 $360^\circ$ 裡導通 $120^\circ$，導通時電流是 $I_d$，其餘為 0。

單相全橋每顆導通 $180^\circ$，平均是 $I_d/2$，有效值是 $I_d/\sqrt{2}$。三相把同一股 $I_d$ 分給三個臂。

習題 5-26

圖 5-30，三相全橋。$L_s$ 可忽略，整流輸出與大電容之間串 $L_d$。電容電壓的漣波可忽略。求 $i_d$ 連續所需的最小 $L_d$，用 $V_{LL}$、$\omega$、$I_d$ 表示。

連續時，電感前是六脈波，每個脈波寬 $60^\circ$，峰值 $\sqrt{2}V_{LL}$。

六次諧波近似

主導漣波是 $6\omega$，振幅 $\dfrac{2}{35}V_{d0}$：

臨界 $I_d = \hat{I}_{d6}$，

時域積分

在 $-\pi/6\le\omega t\le\pi/6$，$v_{oi} = \sqrt{2}V_{LL}\cos(\omega t)$。$v_{oi} = V_d$ 時

臨界從 $i_d(-\theta_1) = 0$ 積起來再取平均，

和六次諧波近似只差約 $0.5\%$。和 5-7 的單相 $0.150\,V_s/(\omega I_d)$ 比，三相的脈波頻率是 $6\omega$，漣波又小，濾波電感可以小一個數量級。

對照