第五章　二極體整流器

Line-Frequency Diode Rectifiers

交流進、直流出，開關只有二極體。前半對得上較早的板書：5-2-1 純電阻、5-2-2 電感、5-2-3 負載裡有直流電壓、5-3-2 單相橋式、半波對稱與諧波、功因，以及單相 $L_s$ 造成的換流。10/14 接上直流側大電容的電流脈衝、倍壓、以及三個單相整流器灌進中性線。10/21 是三相全橋：平均電壓 (5-68)、相電流有效值 (5-69)、基頻 (5-70)、諧波 (5-71)、功因 (5-73)，還有換流重疊角 (5-82)、(5-84)。板書把 (5-70) 和 (5-71) 圈起來，這兩條的推導要能自己寫完。

符號先統一。交流電源寫成

$V_s$ 是電源的有效值，$V_m$ 是峰值。角度 $\omega t$ 下面用「度」說明，代進指數函數時要改成弳度。

1. 5-2-1　半波，純電阻

此處預留圖圖/06_half_R.png

二極體只在 $v_s > 0$ 時導通。

• 0 到 180°：$v_d = v_s$，$i = v_s / R$。
• 180° 到 360°：二極體逆向，$i = 0$，$v_d = 0$。

直流電壓是整週的平均，不是峰值：

輸出電壓的有效值：

功率用有效值：$P = V_{d,rms}^2 / R$。

二極體截止時，整個 $v_s$ 都壓在二極體上。負半週最深是 $-V_m$，所以

例題 5-1

$V_s = 120$ V，$R = 10\ \Omega$，$f = 60$ Hz，理想二極體，半波，純電阻。求 $V_{dc}$、$I_{dc}$、$I_{rms}$、負載功率、PIV。

過程

也可以直接 $0.45\times 120 = 54.0$ V。

用公式檢查：$P = V_s^2 /(2R) = 14400/20 = 720$ W。兩個算法相同。

若有人用 $I_{dc}^2 R = 5.40^2\times 10 = 292$ W，那是錯的。電阻發熱看有效值。

2. 5-2-2　半波，電感負載

此處預留圖圖/07_half_RL.png

電感的電流不能在 $v_s$ 過零的瞬間消失。二極體會繼續導通到電流回到 0，這個角度叫 extinction angle 熄滅角 $\beta$。$\beta$ 一定大於 180°。

導通時：

• $v_s > Ri$：電流上升。
• $v_s < Ri$：電流下降。這段常常已經進入負半週，所以 $v_d$ 會變成負的。
• 電流回到 0：二極體不能反流，之後 $i = 0$，$v_d = 0$。

負的那一段 $v_d$ 是電感把能量吐回電源。電流從 0 開始又回到 0，電感電壓的正面積等於負面積。

電流的式子怎麼來的

這是一階線性微分方程。$E_d = 0$、從 0° 開始導通時，答案是

其中

括號裡第一段是電源逼出來的穩態正弦，第二段是開機暫態，用來保證 $\theta = 0$ 時電流是 0。$\theta$ 代進指數時要用弳度。

熄滅角由 $i(\beta) = 0$ 決定。這個式子沒有漂亮的反函數，用試角度或數值求解。

例題 5-2

$v_s = 100\sin\omega t$ V，$R = 5\ \Omega$，$L = 10$ mH，$f = 60$ Hz。求 $Z$、$\varphi$，並找出 $\beta$。

過程

試幾個角度（指數裡的 $\theta$ 用弳度）：

180° 時還有 9.76 A，所以不是純電阻那種「過零就斷」。$\beta = 217^\circ$。217° 之後電流保持 0，直到下一週。

電流最大約 16.5 A，在 120° 附近，不是在 90°。電感把電流的峰往後推。

3. 5-2-3　負載裡有直流電壓

此處預留圖圖/08_half_Ed.png

負載可以想成一顆要充電的電池 $E_d$，再串 $R$ 和 $L$。二極體要等 $v_s$ 高過 $E_d$ 才開始通。

導通時：

• $v_s > E_d + Ri$：電流上升。
• $v_s < E_d + Ri$：電流下降。
• 電流回到 0，而且此時 $v_s < E_d$：二極體保持截止，負載端電壓停在 $E_d$。

若電感夠大，$\theta_2$ 仍可能稍微超過 180°。

板書上的通解

方程式是

分成兩部分：

• 特解：交流穩態加上直流穩態

• 補解：電源拿掉之後的自然衰減

$i = i_p + i_h$。導通開始的時刻 $t_1$ 電流還是 0，用這個條件找出 $A$，得到

$\theta_2$ 就是下一個讓 $i = 0$ 的時刻。

例題 5-3

$V_m = 100$ V，$E_d = 40$ V，$R = 5\ \Omega$，$L = 20$ mH，$f = 60$ Hz。求開始導通的角度，並說明電流何時結束。

過程

把上面的通解從 $\theta_1$ 開始算，試到電流回到 0：

所以導通區間是 23.6° 到 202°，大約 178°。180° 時電流還沒有結束，會再導通約 22°。202° 之後二極體截止，直到下一週 $v_s$ 再超過 40 V。

電池平均收到的功率，要等電流波形算出平均電流再乘 $E_d$。這一題的重點是區間，不是把平均功率背下來。

4. 5-3-2　單相全波橋式，$L_s = 0$

此處預留圖圖/09_bridge.png

四顆二極體。正半週 D1、D2 導通，負半週 D3、D4 導通。輸出電壓永遠是 $v_s$ 的絕對值：

平均電壓，板書的 (5-9)：

這裡用半週 $\pi$ 當週期，因為全波每半週就重複一次。不要和半波的 $0.45 V_s$ 搞混。

這一節後面的諧波，假設直流側電感很大，highly inductive load。直流電流幾乎是常數 $I_d$。交流側電流就變成高度 $I_d$ 的方波：正半週 $+I_d$，負半週 $-I_d$。

每顆二極體的 PIV 仍是 $V_m$。

5. 半波對稱

此處預留圖圖/10_symmetry.png

若

波形有 half-wave symmetry 半波對稱。把波形右移半週再上下翻轉，會和原來重合。

結果：

• 沒有直流成分。
• 沒有偶次諧波。
• 只剩 1、3、5、7… 次。

方波 $\pm I_d$ 有半波對稱。只有正脈衝的半波電流沒有。全波整流的電壓 $|v_s|$ 也沒有，因為右移半週之後長得一樣，沒有變成負的。

板書的問題可以這樣答：波形若沒有半波對稱，傅立葉級數裡偶次諧波可以存在。偶次諧波本身會破壞 $f(\omega t+180^\circ)=-f(\omega t)$，正負半週不再互為反相。

6. 方波的諧波、THD、功因

此處預留圖圖/11_harmonics.png

高度 $I_d$ 的方波。係數的積分在第 3 章第 2 節算過，這裡用結果：

第 $n$ 次（$n$ 為奇數）的峰值是 $4I_d/(n\pi)$。有效值再除以 $\sqrt{2}$：

方波的總有效值就是它的高度：

諧波的有效值（不含基頻）：

總諧波失真 THD, total harmonic distortion，板書用 0.9 這個近似，得到 (5-15)：

用更精確的 $2\sqrt{2}/\pi = 0.9003$，THD 是 48.3%。考試用板書的 48.4%（或 48.43%）即可。

為什麼平均功率只和基頻有關

此處預留圖圖/13_pf.png

$v_s$ 只有基頻。不同頻率的正弦乘起來，整週平均是 0。所以

橋式二極體的方波和電壓同時換向，基頻電流和 $v_s$ 同相，$\varphi_1 = 0$，位移功因

視在功率用總有效值：

功因只有 0.9，不是因為電流相位落後，是因為電流有諧波。諧波讓 $I_s$ 變大、線路更熱，但不增加平均功率。

另外可以用直流側檢查：$L_s = 0$ 時 $P = V_{do}I_d = 0.9 V_s I_d$，而 $V_s I_{s1} = V_s(0.9 I_d)$，兩個結果一樣。

例題 5-4

單相橋式，$L_s = 0$，直流側電感很大，$V_s = 120$ V，$I_d = 10$ A。求 $V_{do}$、$I_{s1}$、$I_s$、$I_{dis}$、THD、$P$、$S$、PF、DPF。

過程

用交流側再算一次：$P = V_s I_{s1} = 120\times 9 = 1080$ W。一致。

7. $L_s$ 不等於 0：換流重疊

此處預留圖圖/12_commutation.png

交流側有漏感 $L_s$ 時，電流不能從 $+I_d$ 瞬間跳到 $-I_d$。換流的那一小段，四顆二極體同時導通，輸出被箝住：

這段角度叫 overlap angle 重疊角 $u$，也叫 commutation angle。

電流的變化量是 $2I_d$，不是 $I_d$。因為要從 $+I_d$ 變到 $-I_d$。

改用角度 $\theta = \omega t$，$dt = d\theta/\omega$：

少掉的電壓面積就是左邊這個積分，板書的 (5-30)：

每半週少一塊 $A_u$，半週的角度寬度是 $\pi$，所以平均電壓下降

$\omega = 2\pi f$，化簡成很好用的形式：

電流愈大、漏感愈大、頻率愈高，直流電壓掉得愈多。圖裡的缺口故意畫大，實際的 $u$ 常常只有二十幾度。

例題 5-5

接續例題 5-4 的 120 V、$I_d = 20$ A 先改成這題的數字：$V_s = 120$ V，$f = 60$ Hz，$L_s = 1$ mH，$I_d = 20$ A。求 $u$、$A_u$ 和 $V_d$。

過程

沒有 $L_s$ 時

用 $A_u/\pi = 15.08/3.142 = 4.8$ V 檢查，相同。

重疊角 24°，直流電壓從 108 V 掉到 103 V。

8. 直流側是大電容：電流變成一串脈衝

10/14 的電路仍是單相橋，但直流側改成一顆大電容，$v_d$ 就是電容電壓 $v_c$。交流側仍然有 $L_s$。這和第 7 節「直流電流近似常數」是兩種負載。電容把 $v_d$ 托在一條有一點紋波的直流上，交流電流大部分時間是 0，只在 $|v_s|$ 高過 $v_d$ 的那一段衝出一個脈衝。

板書的問題是：正半週裡 $v_s < v_d$ 時，D1、D2 是導通、四顆都截止，還是正在換流？若是換流，等效電路是什麼？

分兩層看。

(1) $v_d > |v_s|$

四顆二極體都反偏，全部截止。電容自己對負載放電，交流側電流是 0。這一段沒有換流。第 7 節那種「四顆同時通、$v_d$ 被箝成 0」要直流電流一直維持 $I_d$、而且電流正在從 $+I_d$ 交棒到 $-I_d$ 才會發生。電容負載的電流本來就是 0，沒有東西要交棒。

(2) $v_d < |v_s|$，正半週

設三個角度：$\theta_b$ 是 $|v_s|$ 升過 $v_d$ 的點，$\theta_p$ 是 $|v_s|$ 再掉回 $v_d$ 的點，$\theta_f$ 是電流回到 0 的點。$\theta_f > \theta_p$。

• $0$ 到 $\theta_b$：還是 $|v_s| < v_d$，四顆截止。
• $\theta_b$ 到 $\theta_f$：正半週，D1、D2 導通。等效電路是電源、$L_s$、電容串成一圈，$i_s = i_d$。

導通時電感電壓是

$\theta_b$ 到 $\theta_p$：$|v_s| > v_d$，電流從 0 上升。把上式積起來，

$A$ 是這段 $(|v_s|-v_d)$ 的正面積，單位是伏·弳度。

$\theta_p$ 到 $\theta_f$：二極體還通著，但 $|v_s| < v_d$，所以 $di_d/d\theta < 0$，電流下降。

$B < 0$。電流在 $\theta_f$ 回到 0，二極體截止。一個從 0 開始、又回到 0 的脈衝，電感上的正面積和負面積一樣大，$A+B = 0$。這就是第 3 章的伏秒平衡，用在交流側這顆 $L_s$ 上。

負半週換成 D3、D4，同一套角度再來一次。

$v_d$ 畫在 $I_d/I_{sc}$ 上是一條往下掉的曲線。$I_{sc}$ 是交流側被這顆 $L_s$ 限制住的短路電流等級，$I_{sc} = V_s/(\omega L_s)$。空載時電容充到峰值 $\sqrt{2}\,V_s$，而第 7 節那種大電感的平均值只有 $0.9\,V_s$，所以空載的 $V_d/V_{do}$ 可以到 $\sqrt{2}/0.9 \approx 1.57$。負載電流變大，或 $L_s$ 變大讓 $I_{sc}$ 變小，平均電壓就往 $0.9\,V_s$ 那一側掉。

波峰因數、THD 和那張趨勢圖

全波把正弦電流整流之後，輸出平均是

這裡的 $0.9$ 是「交流電流若接近正弦，直流平均是它有效值的 0.9 倍」。第 6 節的 $I_{s1} = 0.9\,I_d$ 是方波的基頻。兩個 0.9 的分子分母相反。

板書旁註：歐洲對電流諧波有特別規定，$\text{THD}_i$ 常被要求壓在 30% 附近。單相方波自己是 48.4%，過不了這條線，所以實務上才要加電感或濾波器把脈衝拉寬。

波峰因數 crest factor

$CF$ 大，代表同樣的有效值裡藏著更高的尖峰。$L_s$ 變大，電流升得慢，尖峰相對變小，$CF$ 下降。

板書把 $\text{THD}_i$、DPF、PF 畫在 $I_d/I_{sc}$ 上，趨勢是：

• $I_d/I_{sc}$ 變大：脈衝變寬，$\text{THD}_i$ 下降。
• 同一方向：電流峰往電壓峰的後面移，位移功因 DPF 下降。
• PF 在這張圖上是上升的。失真改善的程度蓋過 DPF 的下降。

9. 5-3-4　實際橋式，和 (5-53) 的電壓失真

實際的單相橋在交流側有變壓器漏感和線路電阻，直流側是電容並聯負載。模擬時把它收成狀態方程式 $\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B u$。狀態取電感電流和電容電壓。二極體導通時

寫成矩陣就是

二極體截止時 $i=0$，電容只剩 $C\,dv_c/dt = -v_c/R_L$。

電流失真怎麼變成電壓失真

插座上看到的電壓不是理想電源 $v_s$。變壓器漏感 $L_s$ 上有壓降，公共連接點的電壓是

把電流拆成基頻和其餘諧波，$i_s = i_{s1}+\sum i_{sh}$，

失真那一塊就是板書的 (5-53)：

基頻那一項是 60 Hz 的壓降，看起來像電壓變低、相位挪一點。諧波電流對時間的導數仍然是諧波，乘上 $L_s$ 之後變成電壓諧波。所以「電流先歪，公共點的電壓跟著歪」，同一條線上的其他設備會看到這顆被污染的電壓。$L_s$ 愈大，同樣的諧波電流造成的電壓失真愈大。

10. 5-4　單相倍壓

倍壓電路用兩顆電容，各吃半週的峰值，負載看兩顆串聯。

• 正半週：一顆二極體把上面那顆電容充到 $v_{C1}\approx\sqrt{2}\,V_s$。
• 負半週：另一顆二極體把下面那顆電容充到 $v_{C2}\approx\sqrt{2}\,V_s$。
• 負載跨在兩顆電容的串聯端，

普通的單相峰值整流（一顆電容）大約充到 $\sqrt{2}\,V_s$。倍壓是這個峰值的兩倍，所以板書寫「輸出是輸入峰值的 2 倍」。它換來的是電流脈衝更尖、電容耐壓和二極體電流都更不好看，只適合要高電壓、電流不大的場合。

例題 5-6

$V_s = 120$ V，倍壓，電容夠大。估計空載直流電壓，並和單相橋的 $0.9\,V_s$ 比。

單相橋、大電感時的平均只有 $0.9\times 120 = 108$ V。同一顆 120 V 的電源，倍壓空載大約是 339 V。

11. 5-5　單相整流器對三相四線中性線

這一節是三個單相整流器，各自接在相電壓對中性線之間，相位差 120°。它和後面第 12 節的「一顆三相橋」不同：三相橋的直流側不接中性線，三倍次諧波根本流不出來。這裡每一相自己對中性線取電流，三倍次會在中性線上相加。

每一相的電流寫成基頻加諧波。$b$ 相的波形就是 $a$ 相整段延遲 $2\pi/3$。一個延遲了 $2\pi/3$ 的波形，它的第 $h$ 次諧波會延遲 $h\cdot 2\pi/3$：

中性線

對某一個固定的 $h$，三個正弦的相位差是 $0$、$-2\pi h/3$、$-4\pi h/3$。

• $h = 3k+1$ 或 $h = 3k+2$（1、2、4、5、7、8…）：三個相量仍然彼此差 120°，加起來是 0。
• $h = 3k$（3、9、15…）：$h\cdot 2\pi/3$ 是 $2\pi$ 的整數倍，三相的這一次諧波同相。三條加在一起變成 3 倍，

有效值把這些同相的三倍次平方和開根號：

三次通常比九次、十五次大很多，板書就收成

一句話：中性線電流可以是「一相的三次諧波有效值」的 3 倍。三相的基頻電流在中性線上互相抵消，看起來三相平衡、中性線卻很熱，熱的來源是這些三倍次。

例題 5-7

每一相 $I_3 = 10$ A，$I_9 = 2$ A，更高的三倍次先忽略。中性線有效值是多少？

只用三次估計：$3\times 10 = 30$ A。九次只多了 0.6 A。

12. 5-6　三相全橋

六顆二極體。上面三顆的陰極接在一起成為直流正端，下面三顆的陽極接在一起成為直流負端。編號沿用板書：D1、D3、D5 分別從 a、b、c 接到正端；D4、D6、D2 分別從 a、b、c 接到負端。任何時刻，正端接在電壓最高的那一相，負端接在電壓最低的那一相，所以輸出是當時最大的那個線電壓。

相電壓寫成

$V_s$ 是相電壓有效值。線電壓有效值 $V_{LL}=\sqrt{3}\,V_s$，峰值是 $\sqrt{2}\,V_{LL}$。

$L_s = 0$、直流側電感很大時，每個 60° 只有一上一下兩顆導通。正端每顆導通 120°，負端也是。a 相電流因此是：D1 導通的 120° 為 $+I_d$，D4 導通的 120° 為 $-I_d$，剩下兩個 60° 為 0。

a 相電流的 $+I_d$ 正好落在 30° 到 150°，也就是 $\pi/6$ 到 $5\pi/6$。這一段把時間原點放在 $v_a$ 的過零點上，波形對原點是奇函數，餘弦係數 $a_h = 0$。它也有半波對稱，偶次諧波是 0。

直流電壓一個線週期裡有 6 個相同的小山丘，每一丘寬 $60^\circ=\pi/3$。平均只要算一丘。

平均電壓 (5-68)：為什麼是 $1.35\,V_{LL}$

取 D1、D6 那一丘，30° 到 90°，$v_d = v_{ab} = v_a-v_b$。

用差角公式。令 $A=\omega t-\pi/3$、$B=\pi/3$，則 $A+B=\omega t$、$A-B=\omega t-2\pi/3$，

$\sqrt{3}\,V_s$ 就是線電壓有效值，所以

這一丘的中心在 $\omega t=\pi/3$，餘弦是 1，$v_{ab}$ 到達線電壓峰值 $\sqrt{2}\,V_{LL}$。平均以這一丘的寬度 $\pi/3$ 當分母：

反導數是 $\sin(\theta-\pi/3)$。代入上下限：

這就是 (5-68)。考試若把上下限代進 $\sin\theta$ 而忘了括號裡的 $-\pi/3$，差不會剛好是 1，$1.35$ 就出不來。$1.35\,V_{LL}$ 已經很接近線電壓峰值 $1.414\,V_{LL}$：六脈波把線電壓的頂端接成一條，平均只比峰值少一點。

相電流的總有效值 (5-69)

一週裡 $|i_a|=I_d$ 的時間是兩段 120°，一共 $4\pi/3$ 弳度，其餘為 0。

這是 (5-69)。單相方波整週都是 $\pm I_d$，所以那裡 $I_s=I_d$。三相每個相有 120° 是 0，有效值少一截，變成 $0.816\,I_d$。

基頻 (5-70)：這條要會推

係數用第 3 章的 (3-23)。$a_h=0$ 已經用奇對稱拿掉了，峰值是

級數裡的這一項是 $b_h\sin(h\omega t)$。它的有效值是峰值除以 $\sqrt{2}$，所以板書寫 $\sqrt{2}\,I_{sh}=b_h$。

$h$ 是奇數時，負半週和正半週對這個積分的貢獻一樣，(3-23) 可以收成只積正脈衝、前面改成 $2/\pi$：

$0$ 到 $\pi/6$、以及 $5\pi/6$ 到 $\pi$，電流是 0，不用積。把 $\pi/6$ 到 $5\pi/6$ 在 $\pi/2$ 切開，兩段互為鏡像，板書是這樣算的：

$\cos(5\pi/6)=-\sqrt{3}/2$，負負得正，才會和 $\cos(\pi/6)$ 加在一起。代回去：

這就是 (5-70)。$\sqrt{6}/\pi = 0.780$。考試用 $0.78\,I_d$ 或 $\sqrt{6}/\pi\,I_d$ 都可以，推導要留 $\sqrt{6}/\pi$。

和單相方波的 $0.9\,I_d$ 對一下來源：單相整半週都是 $I_d$，積分上限是 $0$ 到 $\pi$，得到 $4I_d/\pi$ 的峰值、$0.9\,I_d$ 的有效值。三相的正脈衝只有 120°，積分限是 $\pi/6$ 到 $5\pi/6$，少掉的兩個邊角讓基頻從 $0.9\,I_d$ 降到 $0.78\,I_d$。

諧波 (5-71)：同一條積分，把 $\sin\theta$ 換成 $\sin h\theta$

$h$ 是奇數時，$\cos(h\pi-\alpha)=-\cos\alpha$，而 $5h\pi/6 = h\pi-h\pi/6$，所以

括號變成 $2\cos(h\pi/6)$：

板書接著看 $\cos(h\pi/6)$ 的值，正負先不管，因為有效值取絕對值。

$h=6k\pm 1$ 時，$|\cos(h\pi/6)|=\sqrt{3}/2$，代進 $b_h$：

峰值是基頻的 $1/h$，有效值也是：

這就是 (5-71)。$h=5$ 的負號只表示這一項和 $\sin 5\omega t$ 反相，寫進 THD 時用 $I_{s1}/5$ 的正值。

三倍次（3、9、15…）的餘弦是 0，積分直接給 0。物理上也說得通：三相三線的橋沒有中性線，$i_a+i_b+i_c=0$ 在每個瞬間都成立。三倍次若存在，三相會同相，加起來無法為 0，所以它們必須是 0。這和第 11 節相反。那一節有中性線，三倍次才加得起來。

偶次用不到這條簡化式。半波對稱已經把偶次消掉，積分時負半週會和正半週對消。

出現的次數就是 1、5、7、11、13、17、19…。沒有偶次，也沒有 3、9、15。

功因 (5-73)

平均功率只有基頻做得了功。三相就是三倍的單相：

$L_s=0$ 時，120° 的電流脈衝對準相電壓的峰值，基頻和 $v_a$ 同相，$\varphi_1=0$，$\cos\varphi_1=1$。

中間那步：$\sqrt{6}/\sqrt{2/3} = \sqrt{6}\cdot\sqrt{3/2} = \sqrt{9} = 3$，再除以 $\pi$。板書用 $0.78/0.816\approx 0.955$，和 $3/\pi$ 是同一個數。(5-73) 就是這個 $0.955$。

位移功因仍然是 1。功因比 1 小，是因為 $I_s = 0.816\,I_d$ 比 $I_{s1}=0.78\,I_d$ 大，多出來的是諧波。

THD 跟著就算：

單相方波是 48.4%，三相這組 120° 脈衝是 31.1%。10/14 板書說歐洲常把電流 THD 卡在 30% 附近，三相橋的理想方波就貼在這條線旁邊。

功率可以從直流側核對。相電壓 $V_s = V_{LL}/\sqrt{3}$，

交流側用 (5-70)、直流側用 (5-68)，兩個功率相同。考試推完 (5-70) 可以用這一條檢查係數有沒有抄錯。

例題 5-8

三相橋，$L_s=0$，線電壓 480 V，$I_d = 100$ A，直流側電感很大。求 $V_{do}$、$I_s$、$I_{s1}$、$I_{s5}$、$P$、PF。